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El relato se lleva a cabo tomando en cuenta los cambios ocurridos en la matemática durante la segunda mitad del siglo xix y los subsiguientes debates en torno a su naturaleza y fundamentos. Se exploran las ideas de Hilbert desde la publicación de su libro Fundamentos de la geometría de 1899, hasta la propuesta de un nuevo fundamento para la matemática clásica en los años veinte. Un tema central es el examen de la manera en que dio forma a su programa de fundamentación en sus dos vertientes, la filosófica y la matemática, y cómo llegó a la idea de que la matemática clásica es reducible a un cálculo simbólico sin significado aparente. Logrado lo anterior podremos valorar lo hecho por Gödel, comprender lo que todo ello significó para Hilbert y ponderar la manera en que cada uno de ellos entendió las matemáticas. A fin de cuentas, se trata de contrastar los puntos de vista de dos visionarios que con su obra nos obligaron a cambiar nuestra manera de pensar la matemática. [short_description] => El presente texto, escrito con intenciones didácticas, constituye un relato sobre labor de David Hilbert y Kurt Gödel en el terreno de los fundamentos y la filosofía de las matemáticas. Está dirigido a quienes, con una razonable formación matemática, deseen acercarse a estos temas partiendo de las inquietudes de quienes inicialmente se consagraron a esta ciencia y decidieron reflexionar sobre ella.
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Estudió matemáticas en la Facultad de Ciencias de la UNAM, donde también realizó estudios de posgrado al igual que en la Facultad de Filosofía y Letras de la UNAM. Actualmente se desempeña como profesor de carrera en la Facultad de Ciencias, donde imparte cursos tanto en la licenciatura como en algunos de los posgrados en que la institución participa. Sus áreas de interés son la lógica matemática, la teoría matemática de la computabilidad y la filosofía y los fundamentos de las matemáticas, con algunas derivaciones hacia la epistemología y la enseñanza de esta disciplina.
[free_reading] => Preámbulo Una explicación nada literaria que, además, no explica nada Hay un cuento de Augusto Monterroso que nunca dejará de sorprenderme. Supongo que no tiene nombre, pues si lo tuviera, éste sería más largo que él. Cabe en medio renglón: Cuando despertó, el dinosaurio todavía estaba allí. No sé si esta narración habrá dejado satisfecho al señor Monterroso, o si pensaba reducirla todavía más, pero eso no importa: como está, lo dice todo sin decir nada a la vez: ¿Quién despertó?, ¿por qué durmió?, ¿qué representa el dinosaurio?, ¿llegamos tarde al relato y sólo escuchamos la parte final?, ¿a qué extraña historia pone punto final tal acotación? Pensando en todas estas interrogantes, y en busca de una inexistente explicación del cuento-oración, llegué a dos conclusiones: 1) que el autor nos deja en libertad de poner todo lo que imaginamos que calla, y 2) que una indiscutible lectura es la siguiente: un individuo, asediado y sin saber cómo escapar de su desventura, echó a dormir con la esperanza de que al despertar la causa de su infortunio hubiera desaparecido. Como entonces yo escribía este trabajo, pensé que el personaje sería Hilbert y el dinosaurio los teoremas de Gödel, e hice con estos protagonistas una variante nada literaria y totalmente personalizada del cuento (por lo que de antemano pido una disculpa al señor Monterroso): Cuando despertó, los teoremas de Gödel todavía estaban allí. Esta libre traslación del relato me agrada no porque sea buena literatura, sino porque me permite llegar sin más explicaciones al nudo gordiano de este trabajo: al derrumbe de un proyecto de naturaleza dual, mitad matemáticas, mitad filosofía. Y como aquí de lo que se trata es de un trabajo académico y no de literatura, ahora debo explicar qué fue lo que sucedió antes del "Cuando" y después del "Cuando", es decir, porqué en mi fantasía Hilbert decidió dormir para ver si así desaparecía el dinosaurio, y porqué deseaba su desaparición. Esto, obviamente, en cientos de páginas y no en media línea, como el prodigioso Sr. Monterroso lo podría haber hecho. Prefacio Para empezar, una ecuación: matemática = matemáticas. Sin lugar a dudas, David Hilbert y Kurt Gödel se cuentan entre los matemáticos más prominentes de la era moderna, y ello por dos razones: primero, por la profundidad y amplitud de sus contribuciones a las matemáticas; segundo, por su labor en el ámbito de los fundamentos y la filosofía de las matemáticas. En el imaginario colectivo, Hilbert ha pasado a la historia como el padre del formalismo matemático (sin importar lo que esto último signifique), y en la lógica y la filosofía como el creador de un ambicioso programa tendiente a "eliminar en forma definitiva el problema de los fundamentos de las matemáticas". Por su parte Gödel debe su fama a dos teoremas de su autoría, calificados como "las verdades matemáticas más significativas del siglo veinte", con la particularidad de que con ellos puso fin a las pretensiones de Hilbert. También hay que añadir a sus méritos la imagen que nos ofrece de la matemática, en la que en lugar de una ciencia contenida en rígidos formalismos (como lo procuraba Hilbert), nos presenta una ciencia abierta, incompleta e incompletable, y por añadidura incapaz de justificar su propia coherencia interna. Esto, que pareciera una breve descripción de la grandeza de Hilbert y Gödel y de sus discordancias, en realidad encierra una multitud de acontecimientos, muchos de los cuales datan del siglo XIX. Esconde, por ejemplo, la fructífera labor de Hilbert en torno a los fundamentos, primero de la geometría y después de la aritmética, el análisis y la teoría de conjuntos, y que se extendió por más de 38 años. Encubre también el derrumbe de la visión clásica de la matemática, la aparición de nuevos métodos y procedimientos que transformaron su entraña, la elaboración de un nuevo fundamento para el análisis matemático (no exento de problemas), el surgimiento de nuevas teorías matemáticas cada vez más complejas y abstractas (v. gr., la teoría de los números transfinitos de Cantor y el álgebra moderna), y la aparición de nuevas geometrías que cuestionaron el papel de la geometría clásica euclidiana. Oculta también la irrupción de paradojas en la teoría de conjuntos y el inicio de un vigoroso debate en torno a la naturaleza y los fundamentos de las matemáticas en el que se perfilaron al menos tres escuelas discordantes. Nuestro propósito es construir un relato sobre la labor de Hilbert y Gödel en este terreno, mas no en forma aislada, sino en el más amplio contexto de los sucesos recién señalados. En particular, queremos seguir la evolución de las ideas de Hilbert desde antes de la publicación de su libro Fundamentos de la geometría de 1899, hasta la propuesta de un nuevo fundamento para la matemática clásica en los años veinte. Deseamos examinar cómo dio forma a su programa de fundamentación en sus dos vertientes, la filosófica y la matemática, y seguir su línea de pensamiento exhibiendo cómo fue que amplió sus metas (v. gr., procurar una teoría formal completa para la aritmética y despejar las dudas respecto a la resolubilidad de todo problema matemático) y cómo llegó a la idea de que el cálculo lógico propuesto en el programa codifica nuestras técnicas de pensamiento, es decir, compendia las reglas conforme a las cuales procede nuestro pensamiento cuando hacemos matemáticas. Todo esto teniendo como telón de fondo los acontecimientos y debates ya referidos. Logrado lo anterior podremos apreciar la verdadera dimensión de lo hecho por Gödel, comprender lo que todo ello significó para Hilbert, y ponderar la manera en que cada uno de ellos entendió las matemáticas. La escritura de un libro de tal extensión debe tener una clara justificación. Ofrezco algunas razones. La primera es muy simple y no requiere de mayores argumentos: la labor de Hilbert en torno a los fundamentos de la matemática tuvo una enorme influencia en la matemática del siglo XX, especialmente en el modo de entenderla. Para el caso podemos citar dos ejemplos: (1) el peso que tuvo en la adopción del método axiomático, el cual se ha extendido a muchas ramas de la matemática; (2) la idea que nos transmitió de la matemática pura, en la que vio una ciencia abstracta sin la obligación de tratar con "las cosas de este mundo". Abrir camino a esta manera de ver nuestra ciencia, tan común en la actualidad, fue una tarea en la que Hilbert se comprometió, debiendo enfrentar una tenaz oposición. Tenemos, además, la innegable presencia de Hilbert y Gödel en la filosofía contemporánea de las matemáticas. Una segunda razón, igual de importante, es que en mi labor como profesor de lógica matemática en la Facultad de Ciencias, y como profesor de filosofía de las matemáticas en diversos lugares (Licenciatura en Matemáticas, Posgrado en Filosofía de la Ciencia, Maestría en Docencia para la Educación Media Superior, diplomados y demás) me di cuenta de la necesidad de un texto, escrito con intenciones didácticas, que ofreciera una visión panorámica de los temas ya referidos. Tal libro estaría dirigido no a los especialistas en la materia (para quienes ya hay una extensa literatura), sino a quienes desean aprender de ella sin antes haber cubierto todos los temas que los expertos marcan como necesarios para su comprensión. Además un libro amigable, accesible a todo aquél que, con una razonable formación matemática, desee acercarse a tales cuestiones. En breve: Un texto que, de manera simple, explique los elementos básicos del trabajo de Hilbert y Gödel en torno a los fundamentos de las matemáticas, tomando en cuenta el contexto en que se produjo y que influyó evidentemente en su desarrollo. Es un hecho afortunado que hoy en día la bibliografía relativa a estas cuestiones es muy extensa. Son numerosos los libros y artículos que examinan en detalle todos y cada uno de los aspectos de la obra de Hilbert y Gödel. No obstante, por distintas razones ninguno de ellos reúne todas las bondades que esperamos. En algunos casos se trata de trabajos especializados dirigidos a quienes, conociendo ya la obra de Hilbert y Gödel, buscan profundizar en alguna cuestión en particular (lo cual no es posible en una primera aproximación); otros consisten en antologías que reúnen textos relativos a un tema en particular o publicados en un periodo determinado, muchos de los cuales dejan al lector la tarea de construir un discurso en torno a ellos. Otros más sólo tocan aspectos técnicos del trabajo de Hilbert y Gödel, sin hacer referencia al contexto histórico o filosófico, o se concentran en cuestiones meramente biográficas o anecdóticas, sin ir al fondo de los problemas. Esto por mencionar algunos ejemplos. Un caso aparte lo forman aquellas investigaciones en las que las cosas se miran desde la perspectiva de los problemas filosóficos tradicionales (metafísica, epistemología, ontología, filosofía del lenguaje), y no desde las preocupaciones de quienes, desde la matemática, participan o se inician en los debates. Esto requiere de una explicación o discusión más detallada. Como área de estudio, la filosofía de la matemática se puede contemplar desde dos perspectivas: desde el punto de vista de la filosofía misma y desde el punto de vista de quienes practican la matemática. Frente a esta alternativa, nuestra elección ha sido clara. Se trata de mirar los problemas filosóficos a que dio lugar la matemática desde la perspectiva de quienes primariamente se consagraron a esta ciencia y, de manera complementaria, decidieron reflexionar sobre ella, seguros de que esta labor enriquecía el valor cultural y perfilaba los derroteros seguidos por la matemática. Es de tales cuestiones que nos ocupamos en estas páginas. Esto de ninguna manera significa que sintamos desprecio o rechazo por el otro punto de vista" Más bien, nuestra preferencia por el enfoque "internalista" es natural: ahí están nuestras raíces, al igual que las de Hilbert, cuya visión es la de un matemático activo, no la de alguien cuyas preocupaciones iniciaron al contemplar la matemática desde la filosofía. Esta postura tiene la ventaja de que en ella se parte de la comprensión calificada de ciertos campos de la matemática, la cual es indispensable si se quiere discurrir filosóficamente acerca de ella. Históricamente, esta postura marcó una diferencia en la manera de abordar los problemas. De hecho, un mérito de Hilbert consistió en tratar de resolver diversos problemas filosóficos relativos a la matemática haciendo matemáticas, es decir, construyendo una teoría matemática (la teoría de la demostración) para resolverlos. Dicho de otra manera: lo que Hilbert hizo fue reflexionar en torno a los problemas relativos a los fundamentos de la matemática desde la matemática misma, dirigiéndose en todo momento a sus colegas y no a quienes desde la filosofía mostraban algún interés en ella. Lo mismo podemos decir, en mayor o menor medida, de otros participantes en el debate (v. gr., Cantor, Poincaré, Brouwer), cuyas posturas habremos de examinar. Un problema que trajo consigo un estudio tan especializado de los fundamentos de las matemáticas fue que su desarrollo se dio en estrecha dependencia con métodos y técnicas que dificultan su comprensión. En particular, muchas ideas se presentan tras un lenguaje técnico que las obscurece y aleja del no especialista. Los matemáticos, principales conductores de estas investigaciones, establecieron nuevas formas de análisis, pero lo hicieron levantando una barrera conceptual y metodológica que dificulta la comprensión de su trabajo (v. gr., la teoría de la cuantificación de Frege, la teoría de tipos de Russell, el predicativismo de Poincaré y Weyl, etc.) Con respecto a esto, en este libro intentamos aclarar muchas de las ideas comprendidas en tales indagaciones, ya sea en el texto principal o en los apéndices, cuya inclusión obedece a nuestro deseo de ofrecer un texto autocontenido. Para concluir esta sección diremos lo siguiente. Si alguien nos preguntara porqué un matemático con inclinaciones filosóficas o un filósofo con inclinaciones matemáticas debe ocuparse de todo este material en apariencia antiguo, nuestra respuesta sería otra pregunta: ¿Por qué se interesa usted en las matemáticas? Es muy difícil explicar a los no matemáticos porqué sentimos tal apego a esta materia, o porqué la misma plantea problemas tan serios a la filosofía. Una respuesta a lo anterior se halla en lo que aquí narramos, en los cambios ocurridos en la matemática en la segunda mitad del siglo diecinueve y principios del veinte, en los nuevos puntos de vista que surgieron acerca de su naturaleza -desde el riguroso logicismo de Frege hasta la cruda concepción sintáctica del programa de Hilbert- y en la obra de Gödel, quien nos reveló una matemática inagotable, por siempre abierta a la incorporación de nuevos métodos y principios, en ocasiones tan abstracta que parece recorrer las fronteras del pensamiento mismo. Si esto no le parece sorprendente al lector, una opción no dolorosa será que cierre el libro y se ocupe de otras cosas. Por último tenemos una segunda respuesta a la pregunta sobre el interés en estas cuestiones. La educación universitaria no sólo consiste en aprender una especialidad y mirar hacia lo nuevo; también entraña la adquisición de una formación integral y la preservación de nuestra memoria histórica. Concentrarse exclusivamente en lo nuevo o, peor aún, en los contenidos específicos de una disciplina, constituye un error que debemos evitar. No se puede limitar la educación universitaria a tales empeños. Por el contrario, más allá de la preparación técnica, la educación debe ofrecer una visión global de lo que se estudia, generando a la vez principios y actitudes a través de los cuales los individuos puedan sentir, vivir y expresarse. En cierta ocasión Albert Einstein se refirió al fin último de la educación con las siguientes palabras: No basta con enseñar a un hombre una especialidad. Aunque esto pueda convertirle en una especie de máquina útil, no tendrá una personalidad armoniosamente desarrollada. Es esencial que el estudiante adquiera una comprensión de los valores y una profunda afinidad hacia ellos. Debe adquirir un vigoroso sentimiento de lo bello y lo moralmente bueno. De otro modo, con la especialización de sus conocimientos más parecerá un perro bien adiestrado que una persona armoniosamente desarrollada. (Albert Einstein en The New York Times, 5 de octubre de 1952). Un modo de equilibrar el desarrollo de los alumnos consiste en enseñar, junto con los contenidos propios de la matemática, su historia y filosofía, lo cual ensancha la visión que se tiene de la llamada "Reina de las ciencias", permitiendo una mejor comprensión de su carácter y su lugar en la ciencia, la cultura y la sociedad. Sobre la estructura del libro En su estructura el libro sigue básicamente un orden cronológico, sin no pretender ser una historia de los problemas considerados o un tratado íntegro sobre el debate en torno a los fundamentos de las matemáticas que se diera a inicios del siglo XX. El libro comienza con un análisis del carácter de la geometría euclidiana y culmina con la presentación de la filosofía matemática de Kurt Gödel. El orden y selección de los temas obedece al propósito de seguir y entender el desarrollo del pensamiento de Hilbert y la manera en que Gödel puso fin a sus pretensiones. Con este criterio fueron muchas las cosas que no fueron tomadas en cuenta. Una ventaja del orden cronológico es que nos permite resaltar la diferencia entre la matemática tradicional y la llamada matemática moderna, cuya aparición dio lugar al problema de los fundamentos suscitado a principios del siglo veinte. Otra ventaja, decisiva para la organización de este trabajo, es que el orden cronológico nos posibilita exponer los problemas y resultados de las investigaciones en torno a los fundamentos de la matemática de manera accesible al no especialista. Con ello buscamos dos cosas: primero, tender un puente entre la matemática y la filosofía; segundo, hacer claro al lector el contraste entre una vertiente de la matemática actual, abstracta y sofisticada, y la matemática tradicional, que en gran medida refleja nuestras intuiciones. Por último tenemos una consideración de orden teórico. Después de leer a Paul Bernays, llegamos a la conclusión de que al explorar un tema como el de los fundamentos de las matemáticas no es necesario elegir entre los distintos puntos de vista analizados (intuicionismo, finitismo, logicismo, platonismo, etc.); más bien, lo relevante es formular de manera precisa tales puntos de vista y establecer sus diferencias, similitudes y mutuas relaciones. La idea que guía esta investigación es precisamente la de sopesar los argumentos de los distintos actores, para así comprender de mejor manera lo hecho por Hilbert y Gödel. 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