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El Dr. Manuel Cruz López obtuvo su doctorado en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Actualmente es profesor de Tiempo Completo, en el Departamento de Matemáticas, de la División de Ciencias Naturales y Exactas, de la Universidad de Guanajuato.
García Campos, Monserrat
Profesora de Asignatura B, Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias-UNAM.
[toc] => Prefacio IX
1 Propiedades geométricas de circunferencias 1
1.1 Cuadriláteros cíclicos 1
1.2 Potencia de un punto 3
1.3 Circunferencias coaxiales 6
1.4 Ejercicios 14
2 El grupo de Meibius euclidiano 17
2.1 Reflexiones y el grupo de Mdbius 17
2.2 Propiedades geométricas de las reflexiones 21
2.3 Transformaciones de Miibius elementales 36
2.4 El grupo de Mübius euclidiano Mob+ (E2) 47
2.5 Isometrías euclidianas 48
2.6 Ejercicios 49
3 La acción del grupo de Miibius euclidiano 51
3.1 La acción de Mob+ (E2) en E2 51
3.2 La acción de subgrupos elementales 53
3.3 Propiedades dinámicas en familias coaxiales 58
3.4 Ejercicios 70
4 Una aplicación: Geometría de proteínas 73
4.1 Isometrías del espacio euclidiano E3 74
4.2 El grupo de isometrías euclidianas 77
4.3 Proteínas 78
4.4 Geometría de proteínas 79
4.5 Avances recientes 84
Bibliografía 87
Índice analítico 89 [free_reading] => El estudio sistemático de la geometría bidimensional inició a mediados del siglo iv antes de nuestra era con el famoso matemático griego Euclides (325 A.E. - 265 A.E.) en su compendio enciclopédico conocido como Los Elementos. La influencia de Euclides se extendió hasta las postrimerías del siglo XVIII y, desde principios del siglo xix diversos matemáticos, entre ellos C.F. Gauss (1777 - 1855), J. Bolyai (1802 - 1860), N.I. Lobachevsky (1792 - 1856), E. Beltrami (1835 - 1899) y B. Riemann (1826 - 1866) introdujeron nuevas ideas que mostraron que era posible la existencia de otras geometrías distintas de la euclidiana. En el año 1872 el joven Felix Klein (1849 - 1925) presentó una nueva visión de la geometría en su famoso Programa de Erlangen. En este manuscrito Klein establece que: Una geometría es el estudio de las propiedades de un espacio que permanecen invariantes bajo un grupo de transformaciones. En esta nueva visión se introduce la noción de grupo de transformaciones para el estudio de la geometría. En este texto presentamos una introducción al estudio de la geometría euclidiana a través del estudio del llamado grupo de Meibius euclidiano y su acción en el espacio euclidiano bidimensional. Hacemos esta descripción desde un punto de vista puramente geométrico, desprovisto de un sistema de coordenadas. Este libro está escrito con la intención de que pueda servir como lectura complementaria para un curso de geometría de los primeros semestres de una licenciatura en ciencias. Solo se requieren conocimientos básicos de geometría tales como la noción de línea, líneas paralelas, líneas perpendiculares, polígonos, ángulos y semejanza, entre otros. La primera parte del libro se avoca a conceptos y resultados conocidos de la geometría euclidiana bidimensional elemental, tales como propiedades de cuadriláteros cíclicos, potencia de un punto, familias de circunferencias coaxiales, así como propiedades geométricas de transformaciones elementales del plano euclidiano, como reflexiones con respecto de líneas y circunferencias. En la segunda parte del libro hemos incorporado ideas y conceptos algebraicos que nos permiten describir propiedades geométricas desde una perspectiva diferente a las aproximaciones clásicas a estos temas. Al incorporar la noción de grupo de transformaciones se abre un espectro muy amplio para un enfoque que nos permite relacionar a la geometría con otras áreas del conocimiento tales como los sistemas dinámicos. El texto está conformado por cuatro capítulos. Los tres primeros, como se mencionó anteriormente, están enfocados al estudio de la geometría euclidiana bidimensional y sus grupos de transformaciones. Al final de cada uno de estos capítulos se encuentra una sección de ejercicios que tienen la intención de que el lector profundice en las ideas presentadas. El capítulo cuatro presenta una descripción del grupo de isometrías del espacio euclidiano tridimensional y una aplicación al estudio de las proteínas. A continuación describimos de manera general el contenido de cada uno de los capítulos. En el capítulo 1 se presentan algunos conceptos y resultados clásicos sobre la geometría de la circunferencia: potencia de un punto, eje radical y familias coaxiales. En el capítulo 2 se estudian las reflexiones con respecto de líneas y de circunferencias, a las cuales nos referiremos simplemente como reflexiones. Se introduce la noción de transformación de Móbius euclidiana general, que está definida como una composición finita de reflexiones. Las transformaciones de Móbius generales tienen muchas propiedades interesantes e importantes; entre ellas, mandan líneas y circunferencias en líneas y circunferencias, y respetan la medida de los ángulos que se forman entre curvas. Se define entonces el grupo de Móbius euclidiano general, que consiste de todas las transformaciones de Móbius euclidianas generales y se denota por Mob (E2). Como una reflexión invierte la orientación de los ángulos, se sigue que una composición par de reflexiones conserva dicha orientación. El grupo de Móbius euclidiano Mob (E2) consiste de composiciones pares de reflexiones. Se estudia una clase especial de elementos en dicho grupo conocidas como transformaciones de Móbius elementales. Se hace una descripción de las órbitas de puntos en el plano euclidiano bajo iteraciones de estas transformaciones, es decir, los conjuntos de la forma {Pi (P)}, donde P es un punto en el plano, n es un número entero y Fn es la composición de F consigo misma n-veces. Entender el comportamiento asintótico de dichas órbitas nos permite conocer las propiedades dinámicas de estas transformaciones. El tema de estudio del capítulo 3 se centra en la acción del grupo de Móbius euclidiano en el plano. Asociada a esta acción se definen las correspondientes nociones de órbita, estabilizador y espacio de órbitas. Se analiza la acción de los llamados subgrupos elementales que están generados precisamente por transformaciones de Móbius elementales. La acción de estos subgrupos produce una descomposición del espacio euclidiano conocida como una teselación. Se complementa esta descripción con el análisis de los correspondientes espacios de órbitas, que son objetos geométricos especiales que se obtienen a través de esta construcción. Se concluye este capítulo con una descripción de algunas propiedades dinámicas de reflexiones en familias de circunferencias coaxiales, por ejemplo, se muestra que existen puntos atractores, repulsores y sillas, los cuales son conceptos propios de la teoría de sistemas dinámicos. Finalmente, en el capítulo 4 se presenta una aplicación de las ideas desarrolladas a lo largo del texto a la geometría de proteínas. Las proteínas son macromoléculas fundamentales en nuestras vidas, ya que juegan un papel importante en muchas de las funciones de nuestro organismo, desde la síntesis celular hasta el desarrollo de anticuerpos y partes constitutivas de nuestro cuerpo. Desde los años 50 del siglo pasado se clasificó la estructura de las proteínas en cuatro estructuras fundamentales: primaria, secundaria, terciaria y cuaternaria. La estructura primaria consiste esencialmente de una cadena lineal de aminoácidos, los cuales son los constituyentes básicos de toda proteína. En la estructura secundaria se descubrió que se presentan dos tipos de geometrías: una helicoidal, llamada hélice alfa, y otra plana llamada hoja beta. Presentamos una primera aproximación al estudio de las estructuras secundarias de proteínas, ya que aparecen comportamientos geométricos interesantes que se pueden estudiar utilizando la contraparte tridimensional del estudio bidimensional realizado en los capítulos previos. De manera general y unificada, según nuestra intención, el estudio que proponemos en el texto parte de conceptos básicos y de ideas simples de la geometría euclidiana que nos permiten desarrollar técnicas más sofisticadas para el análisis de la dinámica de ciertas transformaciones de las cuales podemos caracterizar sus órbitas. Seguir este enfoque permitirá al lector que no es experto empezar a comprender el comportamiento de un tipo de sistema dinámico simple utilizando el análisis geométrico. Para el lector avanzado o interesado en el tema, estamos seguros de que la lectura de este texto puede resultar entretenida y esperamos que considere refrescante el enfoque que se presenta. Deseamos que el lector encuentre en este libro las motivaciones suficientes para continuar con un estudio profundo de los temas que se sugieren; esa será nuestra mayor satisfacción. 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Geometría euclidiana bidimensional y su grupo de transformaciones
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