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detenidamente los principios de inducción y del buen orden. El último capítulo versa sobre combinatoria finita, incorporando el concepto de cardinalidad en conjuntos finitos y los principios formales para contar de manera correcta. [short_description] => Dirigido a estudiantes del primer semestre de carreras en ciencias exactas. Conforme se presenta el material, se introduce al lector no sólo en el lenguaje de las matemáticas, sino en la forma de estructurar las ideas, desarrollarlas y escribir los diversos resultados. El texto puede ser utilizado de manera autodidacta o como complemento para las clases en aula. Está conformado por seis capítulos, cada uno con diversas secciones y un bloque de ejercicios; incluye nociones de lógica matemática y una introducción al manejo correcto de los conjuntos. Se expone también el concepto matemático de relación, dando énfasis a las relaciones de equivalencia, y se aborda a profundidad el concepto de función. El capítulo quinto se centra en los números naturales, sus operaciones y su orden, inspeccionando
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Es doctora y maestra en Ciencias, licenciada en matemáticas por la Facultad de Ciencias-UNAM. Es Profesora de Carrera Titular A, Departamento de Matemáticas y profesora de asignatura A, Facultad de Ciencias, UNAM.
Campero, Gabriela
Doctora en Ciencias (2002). Matemática (Ciencias, 1998-05-29). Profesora de carrera asociado C, Departamento de Matemáticas, Profesora de Asignatura A, Facultad de Ciencias, UNAM.
[toc] => Prefacio XIII
1 Nociones de Lógica 1
1.1 Lógica Proposicional 1
1.2 Lógica de Predicados 27
2 Conjuntos 43
2.1 Presentación 43
2.2 Complementación 56
2.3 Intersección 61
2.4 Unión 68
2.5 Diferencia 75
2.6 Diferencia simétrica 81
2.7 Intersección y Unión generalizada 87
2.8 Potencia 97
2.9 Producto Cartesiano 100
3 Relaciones 109
3.1 Presentación 109
3.2 Tipos de relaciones 118
3.3 Relaciones de equivalencia y particiones 127
4 Funciones 149
4.1 Funciones y sus gráficas 149
4.2 Tipos de funciones 160
4.3 Composición de funciones y funciones inversas 177
5 Los números naturales 189
5.1 Presentación 189
5.2 Operaciones y orden en los naturales 195
5.3 Más demostraciones por inducción 209
5.4 Mal uso de la inducción 215
5.5 Otros principios de los naturales 218
6 Combinatoria finita 225
6.1 Cardinalidad de conjuntos finitos 225
6.2 Principios elementales de combinatoria 232
6.3 Ordenaciones y permutaciones 239
6.4 Combinaciones y la expansión binomial 250
Bibliografía 261
Índice analítico 263 [free_reading] => Las autoras del presente libro hemos impartido cursos en la Facultad de Ciencias a alumnos de las carreras de Actuaría, Ciencias de la Computación, Física y Matemáticas de la UNAM, y en numerosas ocasiones estos cursos han sido los de Álgebra Superior I y Álgebra Superior II. Como todos los profesores que reciben a los alumnos al inicio de su carrera universitaria, hemos advertido la dificultad que representa para muchos de ellos comprender los conceptos que se incluyen en los temarios de estas materias y sobre todo las nuevas formas de aprender estos conceptos y de trabajar con ellos. Esta dificultad posiblemente se deba a las deficiencias que puedan tener en cuanto a conocimientos previos y a la necesidad de aprender a razonar de una nueva manera abstracta. Justamente en estas carreras científicas deben enfrentarse a un nivel de abstracción considerable y asimilar en un tiempo muy corto lo que significa un axioma, una proposición o un teorema, además de aprender diferentes maneras de demostrar resultados usando argumentos bien fundamentados y utilizando notación nueva para ellos. Aunque existen algunos libros cuya intención es introducir a los alumnos de estas carreras al Álgebra, hay sólo unos cuantos en español y su enfoque es un tanto distinto al que buscamos en éste. El planteamiento del presente texto busca incorporar, durante el tratamiento de los temas de los cursos, una descripción minuciosa y rigurosa de los procedimientos de demostración y deducción que son necesarios para dar fundamentos sólidos a los estudiantes de carreras en ciencias exactas. Por ende, conforme se presenta el material, se busca introducir al lector no sólo al lenguaje de las matemáticas sino a la forma de estructurar las ideas y de desarrollar y escribir los diversos resultados. La propuesta entonces es que sea un texto con un grado elevado de rigor, claridad y pedagogía, con el objetivo adicional de que pueda ser utilizado de manera autodidacta o como un complemento necesario para las clases en aula. Así, el propósito de estos tomos es proporcionar el puente necesario entre el aprendizaje a nivel del bachillerato y de una licenciatura en ciencias exactas considerando los temas estipulados en los temarios de la UNAM y complementando rigurosamente las clases en aula. Los temarios de las materias de Álgebra Superior I y II de Álgebra (para la carrera de Física) impartidos en la Facultad de Ciencias son ambiciosos, por lo que es difícil cubrir todos los temas con la calma que amerita el proceso de aprendizaje de los estudiantes. Es por esto que los tomos propuestos están pensados como un complemento a la asistencia a dichos cursos, dando así la posibilidad de avanzar más rápidamente en las clases con la tranquilidad de que tendrán dónde leer los argumentos importantes con el detalle necesario. Este primer tomo está conformado por seis capítulos, cada uno con diversas secciones y un bloque de ejercicios seleccionados con cuidado en cada sección. A lo largo del texto se presentan recuadros donde se busca recalcar alguna idea o recordar resultados expuestos anteriormente que se utilizan en esa parte del libro. Además, se incluyen apartados que desarrollan material que, aunque está directamente relacionado con el texto, va más allá de los objetivos de un curso básico de Álgebra, por lo que están dirigidos a los lectores interesados en profundizar los temas tratados, motivándolos a continuar su estudio en libros más avanzados; sin embargo, tanto el material que se desarrolla en el libro como la mayoría de sus ejercicios no dependen directamente de estos apartados, por lo que el lector puede seguir el texto sin necesidad de revisarlos. Algunos pocos ejercicios están marcados con un asterisco indicando que pueden ser resueltos si se han leído los apartados de la sección correspondiente. El primer capítulo se llama Nociones de Lógica y su propósito es sentar las bases formales necesarias para exponer de manera rigurosa los conceptos introducidos en los siguientes capítulos. En el segundo capítulo se contempla una introducción al manejo correcto de los conjuntos en matemáticas y se estudian las operaciones más comunes entre conjuntos, incluyendo una exposición sobre la unión e intersección generalizada. En general, en los libros que introducen alguna rama de las matemáticas de manera rigurosa el tema de conjuntos es expuesto con inexactitudes que en nuestra experiencia confunden a los alumnos, por lo que tuvimos especial cuidado en que la presentación de los conjuntos, a pesar de ser básica e intuitiva, fuera correcta y suficientemente rigurosa. El tercer capítulo habla sobre relaciones, dando un énfasis especial a las relaciones de equivalencia, concepto matemático fundamental. Después se presenta un capítulo en el que se introduce el concepto general de función, se estudian las gráficas de funciones, los conceptos de imagen e imagen inversa de un conjunto bajo una función, al igual que se demuestran a detalle los resultados importantes sobre inyectividad y sobreyectividad; en la última sección se introduce la composición de funciones y se exploran las condiciones para que existan funciones inversas. El quinto es un capítulo extenso sobre los números naturales, sus operaciones y su orden. En él se inspeccionan con toda calma el Principio de Inducción, el Principio de Inducción Fuerte y el Principio del Buen Orden y se incluyen numerosas demostraciones utilizando primordialmente el Principio de Inducción. El último capítulo versa sobre combinatoria finita, introduciendo primero el concepto de la cardinalidad en conjuntos finitos y los principios formales para contar de manera correcta. Las últimas secciones examinan las llamadas ordenaciones con repetición, ordenaciones y permutaciones de un conjunto finito, además de las combinaciones de un conjunto finito y su relación con la expansión binomial. En cuanto a la bibliografía, cabe mencionar que el libro [Ro96] fue el que nos inspiró para la elaboración de nuestras primeras notas de clase. Nos gustó mucho también la propuesta del libro [Za05] para exponer la parte de combinatoria finita, por lo que nos guiamos en este libro para escribir varias partes de la presentación de este tema. El libro [Go141 salió cuando el presente texto ya estaba en el proceso de sus últimas correcciones; estamos seguras que será de gran utilidad a los lectores. El libro [Ha73] es un buen comienzo para estudiar la Teoría de Conjuntos, aunque el estudio formal de esta teoría requiere de libros más especializados. Recomendamos especialmente los libros en inglés [B111] y [Kr12] por ser textos bien escritos con un enfoque riguroso y al mismo tiempo introductorio a la matemática avanzada y a las demostraciones formales. Esperamos que este texto sea de mucha utilidad para los estudiantes. Versiones iniciales de él ya han sido ampliamente estudiadas por alumnos de la Facultad de Ciencias con los que estamos muy agradecidas, pues sus correcciones y críticas ayudaron en gran medida a su mejora. También agradecemos al árbitro por sus muchos comentarios atinados y su genuino interés porque este texto fuera de la mejor calidad. Sobre todo agradecemos enormemente a nuestros ayudantes por sus comentarios, correcciones y apoyo para la escritura de este libro. En especial a Ximena Estrada Zavaleta, Víctor Hugo Yáñez Salazar, Erick García Ramírez, Manuel Alejandro Zúñiga Pérez y Héctor Olvera Vital. 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Curso Introductorio de Álgebra I
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