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Libros UNAM

Álgebra superior II

Álgebra superior II

 

ISBN: 9786073014236

Autor(es): Lascurain Orive, Antonio

Editor/Coeditor/Dependencia Participante: Facultad de Ciencias

Formato: Libro Impreso

Disponibilidad: En existencias

Special Price MXN$126

Precio Habitual: MXN$180

ISBN/ISSN 9786073014236
Entidad Académica Facultad de Ciencias
Edición o Número de Reimpresión 1a edición, año de edición -2019-
Tema Matemáticas
Número de páginas 174
Tamaño 22 x 16 x 1
Terminado o acabado rústico
Idioma Español
Contenido 1. Divisibilidad 1
1.1. Fundamentos 1
1.2. El algoritmo de la división 4
1.3. El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo 7
1.4. Algoritmo de Euclides, Ecuaciones diofantinas 13
1.4.1. Algoritmo de Euclides 13
1.4.2. Ecuaciones Diofantinas 15
1.5. Teorema fundamental de la aritmética 18
1.6. Congruencias 23
1.7. Los campos Zp 32
2. El campo de los números reales 33
2.1. Los racionales 33
2.2. Los números reales 40
2.3. El supremo y el ínfimo 44
2.4. Los reales son un campo 47
2.5. Racionales = reales periódicos 57
2.6. Exponentes fraccionarios 62
2.6.1. Raíces n-ésimas 62
2.6.2. Exponentes fraccionarios 63
2.7. Aproximación, método de Newton 66
3. Los números complejos 71
3.1. Nociones básicas 71
3.1.1. Módulo 71
3.1.2. Argumento 72
3.2. Multiplicación de complejos 83
3.3. Los complejos son un campo 88
3.4. Raíz cuadrada 93
3.5. Raíces n-ésimas 97
4. El anillo de los polinomios 103
4.1. Definiciones 103
4.2. El dominio entero A[z] 104
4.3. División con residuo 108
4.4. Teoremas del residuo y del factor 112
4.5. Polinomios de grado 2 117
4.6. División sintética 119
4.7. Aproximaciones a raíces en polinomios reales 122
4.8. Factorización de polinomios 128
4.9. Raíces múltiples, derivadas 131
4.10. Coeficientes, raíces y polinomios simétricos 135
4.11. Factorización en polinomios reales 138
4.12. El máximo común divisor 140
4.13. Método de Sturm 143
4.14. Funciones racionales, fracciones parciales 149
4.15. Teorema de Cardano-Ferro-Tartaglia 155
4.16. Método de Ferrari 164
Glosario de símbolos 169
Bibliografía 171
Índice analítico 173

Detalles

Todas las áreas de la matemática involucran conjuntos con alguna estructura algebraica, en este sentido el estudio del álgebra es fundamental para la ciencia en general. Este libro trata de algunos temas introductorios del álgebra que se enseñan en el segundo semestre de varias licenciaturas de la Facultad de Ciencias de la UNAM. El texto es la segunda parte del libro Álgebra superior I, publicado en esta colección. Trata entre otros temas sobre los fundamentos de la teoría de números, se prueba y se aplica el teorema fundamental de la aritmética y se resuelven ecuaciones. Se calculan las raíces n-ésimas de los números complejos y se trata de las propiedades básicas de los polinomios, además se aproximan raíces con distintos métodos y se resuelven los polinomios de grado tres. Al final se enfatizan las relaciones entre la geometría y el cálculo, incluyendo muchas figuras.

Lascurain Orive, Antonio

Es doctor en matemáticas por la Universidad de Columbia, Nueva York. Realizó su tesis doctoral bajo la dirección de Troels Jorgensen. Desde l979 es profesor en las áreas de álgebra, análisis, geometría y topología en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha impartido las materias Álgebra superior I y II en múltiples ocasiones y ha dirigido numerosas tesis de licenciatura sobre geometría hiperbólica. Es autor de diversos artículos de investigación en prestigiosas revistas nacionales y extranjeras. Miembro del Sistema Nacional de Investigadores desde 1992. Su principal área de investigación es la geometría hiperbólica. Algunas de sus publicaciones son: "Some Presentations for (N)", en Conformal Geometry and Dynamics (2002), y "On Commutators and Hyperbolic Groups in PSL(2, R)", en Joumal of Geometry (2014).

Prólogo Álgebra superior II presenta temas introductorios de álgebra que se enseñan en el segundo semestre de las carreras de Matemáticas, Actuaría y Ciencias de la Computación de la Facultad de Ciencias de la UNAM. El texto es la continuación de Álgebra superior I [9] de mi autoría. El libro cubre el programa vigente, es decir: la divisibilidad, el álgebra y la geometría básica de números complejos, y el anillo de los polinomios. Los enteros y los anillos Z"" que también corresponden al temario de álgebra superior II, fueron tratados en [9]. Se discuten también otros temas que no son parte del temario, en particular, se prueba que los reales constituyen un campo y se amplía la discusión sobre los polinomios. La demanda por parte de muchos estudiantes de mis notas manuscritas del curso Álgebra superior II fue lo que motivó la elaboración de este libro, basado en buena medida en el Cárdenas et al. [4]. El objetivo es que los alumnos cuenten con un texto claro, breve y formal del curso Álgebra superior II. Gran parte del texto conecta la discusión con otras áreas como la geometría y el cálculo (incluyendo 46 figuras), con la perspectiva de que las matemáticas no son ramas aisladas, y que los estudiantes podrán entender mejor el álgebra cuando se le relaciona con otras áreas. El libro no sólo cubre el plan vigente (2005), además toma en lo general la estructura del plan de estudios de 1966. También se desarrollan algunos buenos ejemplos que aparecen en [4], presentándolos sin embargo de manera más detallada, algunas veces relacionándolos con el cálculo e incluyendo gráficas. En el primer capítulo, se describen el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo para dos o más números; se resuelven para valores enteros todas las ecuaciones diofantinas lineales; se prueba el teorema fundamental de la aritmética; se exhiben diversos métodos para resolver múltiples sistemas de congruencias; se prueba también que los anillos Zp primo, son campos. Este capítulo podría llamarse introducción a la teoría de números, cabe señalar que esta rama de la matemática es de gran importancia y se relaciona con muchas áreas; en particular con la criptografía, véase por ejemplo [8]. La teoría de números también vincula la variable compleja, la geometría hiperbólica y la topología de las variedades de dimensión tres, como se puede apreciar en el libro de posgrado [10]. Asimismo, es un hecho notable que la conjetura de Fermat (1637), que establece que la ecuación d" + = donde a, b, c son enteros positivos distintos a 1, se cumple solamente si n = 2, fue probada por el matemático inglés Andrew Wiles en 1996, usando funciones elípticas y formas modulares, temas profundos de la matemática, que relacionan la teoría de números con otras ramas como la geometría algebraica y la variable compleja. En el segundo capítulo, definiendo los reales como expansiones decimales infinitas sin colas de nueves, se prueba de manera formal y detallada que estos números reales son en efecto un campo. Considero que -aunque el tratamiento de los reales con cortaduras de Dedekind es más elegante ([12])-para un estudiante del primer año de la carrera, éste resulta ser menos natural que el de las expansiones decimales infinitas. Asimismo, el método de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy no es muy apropiado para un estudiante del primer año de la carrera, quien puede identificar claramente los puntos de la recta con las expansiones decimales infinitas, sin embargo, no tiene suficiente madurez matemática para pensar puntos como clases de equivalencia. Se prueban también algunos teoremas de densidad de los racionales y que éstos son exactamente los reales periódicos; se incluye también una discusión sobre aproximación y se compara con el método de Newton. La razón principal de incluir este capítulo es probar de manera simple y rápida que los números reales tienen estructura de campo. En el tercer capítulo se prueban e ilustran resultados básicos de la geometría y el álgebra de los números complejos, poniendo énfasis en la parte geométrica, ya que de esta forma se vuelve transparente la ecuación i2 = -1. Además, se define el argumento de un número complejo de manera multivaluada, lo cual prepara de manera correcta a los estudiantes para el aprendizaje de la variable compleja básica, basta por ejemplo pensar en la función logarítmica compleja. Este enfoque también simplifica sustancialmente diversos cálculos. Aunado a esto se incluyen muchas figuras y se mencionan métodos del cálculo para aproximar funciones trigonométricas y argumentos, como el teorema de Taylor. Los números complejos son esenciales en prácticamente todas las ramas de la matemática y algunas de la física, por ejemplo, permiten simplificar largos cálculos a cuentas más simples, como se puede constatar en las integrales impropias. Más aún, son una poderosa herramienta en la geometría, como se observa con las funciones de Moebius, es decir, las que van del plano en el plano, o más precisamente de la esfera en la esfera, y que son de la forma a z +b e + ad-b a,b,c,c1E C. El último capítulo trata sobre algunos fundamentos del anillo de los polinomios, como son: el algoritmo de la división, los teoremas del factor y del residuo, teoremas básicos sobre polinomios con coeficientes enteros, el método de aproximación de Horner, la factorización de polinomios usando las derivadas y el máximo común divisor. Se prueba también el teorema de Sturm que permite aislar raíces, y se encuentran las soluciones a las ecuaciones de grado 3 y 4, mediante el teorema de Cardano-Ferro-Tartaglia y el método de Ferrari. Además, se prueban resultados sobre fracciones parciales, y se presentan polinomios simétricos en varias variables que describen a los coeficientes de los polinomios en términos de sus raíces. Los polinomios son fundamentales en las matemáticas y sus aplicaciones, en particular los llamados de Taylor han sido históricamente una herramienta básica para conocer el comportamiento de muchas funciones. Su utilidad e importancia aparece en casi todas las áreas, más aún, constituye uno de los objetos de estudio de áreas como la variable compleja, la geometría algebraica, así como varias ramas del álgebra. El texto contiene diversos ejercicios (algunos avanzados). La razón de no incluir un número excesivo de ellos es proporcionar al estudiante una guía mínima para dominar la materia de manera rápida. Los temas de este libro pueden cubrirse en un semestre. Una posible distribución podría ser la siguiente: cuatro semanas para cubrir el capítulo de divisibilidad, tres semanas para el capítulo de reales, dos semanas y media para los números complejos, y cinco semanas y media para el capítulo de polinomios. Otros libros de apoyo a los estudiantes de la materia Álgebra superior II son [1], [2] y [6]. Agradezco especialmente a Manuel Flores Galicia por la captura en Latez de mis notas para el curso Álgebra superior II, y por la elaboración de las figuras; asimismo mi agradecimiento a uno de los árbitros que leyó de manera cuidadosa el texto y sugirió muchas mejorías a lo largo de todo el libro. Mi gratitud también a los colegas que me han enriquecido con sus comentarios sobre la enseñanza de esta asignatura, y a varios de mis alumnos por sus pertinentes intervenciones; a las autoridades de la Facultad de Ciencias y a la Dirección General de Asuntos del Personal Académico (DGAPA), que me apoyan en la publicación de este libro, con el proyecto PAPIME PE102716.

Álgebra superior II

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